Gọi $cnt[c]$ là số đỉnh có giá trị $c$. Gọi một giá trị $x$ là giá trị chủ đạo nếu như
$cnt[x]>\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor$.
Trong một truy vấn, nếu $x$ không phải giá trị chủ đạo thì ta có thể duyệt qua mọi đỉnh
có giá trị $x$ để tìm khoảng cách nhỏ nhất, với độ phức tạp
$O\left(\sqrt{n}\times\log{n}\right)$ hoặc $O\left(\sqrt{n}\right)$ để tìm LCA, tùy vào
việc ta có sử dụng thứ tự DFS (Euler tour) để tìm LCA trong $O(1)$ hay không.
Gọi $down[u][c]$ là khoảng cách nhỏ nhất giữa đỉnh $u$ và một đỉnh thuộc cây con gốc $u$
có giá trị $c$, với $c$ là giá trị chủ đạo. Ta có thể tính mảng này sử dụng kiến thức
DP trên cây cơ bản.
Lại gọi $up[u][c]$ là khoảng cách nhỏ nhất giữa đỉnh $u$ và một đỉnh **không** thuộc cây con
gốc $u$ có giá trị $c$, với $c$ là giá trị chủ đạo (như ngoại lệ, đỉnh kia có thể là $u$).
Có ba trường hợp ta cần xét, đó là:
1) $c=a[u]$: khi đó đỉnh cần tìm là $u$, hay $up[u][c]=0$.
2) đỉnh cần tìm cho $u$ cũng là đỉnh cần tìm cho $par[u]$: khi đó
$up[u][c]=1+up[par[u]][c]$.
3) đỉnh cần tìm thuộc một trong các cây con có gốc là con của $par[u]$, khác $u$: khi này
ta có $up[u][c] = 2+\min{down[v][c]}$, trong đó $v$ là các đỉnh con của $par[u]$ khác $u$.
Ta cộng $2$ do từ $u$ ta đi lên $par[u]$, sau đó đi xuống $v$ lần nữa.
Khi đó, đáp án của truy vấn (với $x$ là giá trị chủ đạo) là $\min(down[u][x], up[u][x])$.
Tổng bộ nhớ cần để lưu hai mảng này là $O\left(n \sqrt{n}\right)$, do có không quá
$\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor$ giá trị chủ đạo.
Code mẫu ở dưới. Tuy nhiên lưu ý rằng việc cài đặt bài này khá phức tạp và có nhiều
điểm cần lưu ý, vậy nên chúng cũng sẽ được đề cập ở dưới.
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define debug(x) cout << #x << " = " << x << '\n'
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
const int mxn = 5e4 + 3;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int inf32 = 2e9;
const ll inf64 = 7e18;
int n, q, m, a[mxn], S, pos[mxn], h[mxn];
vector<int> g[mxn], col[mxn], heavy;
int dp[2][mxn][250];
int up[mxn][16]; // mảng này để tính LCA
void dfs0(int u, int p){
// giá trị ở đỉnh u là một giá trị chủ đạo
if (pos[a[u]] != -1) dp[0][u][pos[a[u]]] = 0;
for (int v : g[u]) if (v != p){
up[v][0] = u, h[v] = h[u] + 1;
dfs0(v, u);
for (int c = 0; c < m; ++c){
dp[0][u][c] = min(dp[0][u][c], 1 + dp[0][v][c]);
}
}
}
void dfs1(int u, int p){
if (pos[a[u]] != -1) dp[1][u][pos[a[u]]] = 0;
vector<vector<int>> vt;
vt.resize(m);
for (int v : g[u]) if (v != p){
for (int c = 0; c < m; ++c)
vt[c].push_back(dp[0][v][c]);
}
// sắp xếp lại các down[v][c] theo thứ tự tăng dần
for (int c = 0; c < m; ++c)
sort(all(vt[c]));
for (int v : g[u]) if (v != p){
for (int c = 0; c < m; ++c){
dp[1][v][c] = min(dp[1][v][c], 1 + dp[1][u][c]);
// u có ít nhất 2 con
if ((int)vt[c].size() > 1){
// nếu down[v][c] không phải nhỏ nhất trong các con của u
// thì ta có thể chọn nhỏ nhất
if (dp[0][v][c] != vt[c][0])
dp[1][v][c] = min(dp[1][v][c], 2 + vt[c][0]);
else {
// nếu down[v][c] là nhỏ nhất nhưng có ít nhất 2 cái nhỏ nhất
// thì vẫn chọn nhỏ nhất được
if (vt[c][1] == vt[c][0])
dp[1][v][c] = min(dp[1][v][c], 2 + vt[c][0]);
// ngược lại phải chọn nhỏ thứ nhì
else
dp[1][v][c] = min(dp[1][v][c], 2 + vt[c][1]);
}
}
}
dfs1(v, u);
}
}
int lca(int u, int v){
if (h[u] != h[v]){
if (h[u] < h[v]) swap(u, v);
int k = h[u] - h[v];
for (int j = 0; (1 << j) <= k; ++j)
if (k >> j & 1) u = up[u][j];
}
if (u == v) return u;
for (int j = log2(h[u]); j >= 0; --j){
if (up[u][j] != up[v][j])
u = up[u][j], v = up[v][j];
}
return up[u][0];
}
void solve(){
cin >> n >> q;
S = sqrt(n);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> a[i], col[a[i]].push_back(i);
for (int i = 1, u, v; i <= n - 1; ++i){
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
pos[i] = -1;
// dùng mảng pos để nén các giá trị chủ đạo
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if ((int)col[i].size() > S) heavy.push_back(i), pos[i] = m++;
// khởi tạo mảng với dương vô cùng
for (int t = 0; t < 2; ++t){
for (int u = 1; u <= n; ++u){
for (int c = 0; c < m; ++c)
dp[t][u][c] = inf32;
}
}
dfs0(1, 0); // tính dp[0] (DOWN)
dfs1(1, 0); // tính dp[1] (UP)
for (int j = 1; j < 16; ++j){
for (int u = 1; u <= n; ++u)
up[u][j] = up[up[u][j - 1]][j - 1];
}
while(q--){
int u, x;
cin >> u >> x;
if (col[x].empty()){
cout << -1 << '\n';
continue;
}
if ((int)col[x].size() <= S){
int res = inf32;
for (int v : col[x])
res = min(res, h[u] + h[v] - 2 * h[lca(u, v)]);
cout << res << '\n';
} else {
cout << min(dp[0][u][pos[x]], dp[1][u][pos[x]]) << '\n';
}
}
}
int main(){
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
solve();
return 0;
}
```
Ta sử dụng kĩ thuật chia "nặng", "nhẹ" cho bài này.
Gọi $cnt_c$ là số đỉnh có màu là $c$, một màu gọi là "nặng" khi $cnt_c \geq \sqrt{n}$. Nhận xét sẽ không có quá $\sqrt{n}$ màu "nặng" như vậy do đó ta có thể dùng kĩ thuật BFS từ các màu "nặng". Độ phức tạp: $O(n\sqrt{n})$
Đối với các màu nhẹ, do mỗi màu nhẹ không chứa quá $\sqrt{n}$ đỉnh, do đó ta có thể tìm LCA trong $O(log)$ hoặc [$O(1)$](https://www.youtube.com/watch?v=LzOnf7PkdI4) và tìm khoảng cách nhỏ nhất. Độ phức tạp mỗi truy vấn: $O(\sqrt{n}) * O($LCA$)$
Trong truy vấn $(u, x)$:
- Nếu $cnt_x = 0$ thì đáp án là $-1$.
- Nếu $cnt_x < \sqrt{n}$ thì ta tính $min(D(u, v))$ với $v$ là đỉnh có màu $x$ và $D(u, v)$ là khoảng cách từ $u$ đến $v$.
- Nếu $cnt_x \geq \sqrt{n}$ thì ta chỉ việc in ra $dist[x][u]$ là khoảng cách ngắn nhất từ $u$ đến một đỉnh có màu $x$. Lưu ý: các bạn nên nén $x$ để tránh việc quá bộ nhớ.
Tổng độ phức tạp: $O(n * \sqrt{n} + q * LCA * \sqrt{n})$
tuongll
Created at
8 likes
icebear
Created at
4 likes